Se utiliza el método de integración por partes para encontrar la integral
\[ \int \sec^3 x \; dx \]
La integración por partes se expresa de la siguiente manera
\[ \int u' v \; dx = u v - \int u v' \; dx \]
Sea \( v = \sec x \) y \( u' = \sec^2 x \); por lo tanto, \( u = \displaystyle \int \sec^2 x \; dx = \tan x \) y \( v' = \sec x \tan x \) para escribir
\[ \int \sec^3 x \; dx = \int \sec^2 x \; \sec x \; dx \\ = \tan x \; \sec x - \int \tan x \; \sec x \; \tan x \; dx \\ = \tan x \; \sec x - \int \tan^2 x \; \sec x \; dx \qquad (I)\]
Usa la identidad \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \) para escribir la última integral de la siguiente manera
\[ \int \tan^2 x \; \sec x \; dx = \int (\sec^2 x - 1) \sec x dx \\
= \int \sec^3 x \; dx - \int \sec x \; dx \]
Sustituye en (I) y escribe la integral dada de la siguiente manera
\[ \int \sec^3 x \; dx = \tan x \; \sec x + \int \sec x \; dx - \int \sec^3 x \; dx \]
Añade \( \displaystyle \int \sec^3 x \; dx \) a ambos lados de la ecuación anterior y simplifica para obtener
\[ 2 \int \sec^3 x \; dx = \tan x \; \sec x + \int \sec x \; dx \]
Usa la integral común \( \displaystyle \int \sec x \; dx = \ln |\tan x + sec x| \) para escribir lo anterior como
\[ 2 \int \sec^3 x \; dx = \tan x \; \sec x + \ln |\tan x + sec x| \]
Divide todos los términos por \( 2 \) para obtener la respuesta final.
\[ \boxed { \int \sec^3 x \; dx = \dfrac{1}{2} \left( \tan x \; \sec x + \ln |\tan x + \sec x| \right) + c } \]
